고체역학 Axial Load

* Axial Load

축 방향으로 하중이 가해질 때 부재는 압축이나 인장을 하게 된다. 이때 늘어나는 길이는 $\delta$라고 표현한다고 알고있다.

만약 부재의 Elastic modulus, Area, Force가 달라진다면 $\delta$를 구하는 방법은 E(x), A(x), N(x)가 달라지는 부분을 끊고 각 부분의 $\delta$값을 모두 더하면 된다. 이를 다시 적으면 아래와 같다.

$$\delta = \sum \frac{NL}{AE}$$

 

 그림에서 처럼 부재가 Tension일 때를 +로 정한 것을 볼 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이런 부재를 예로 들자면, A점에서 반력이 -50kN작용하는 것을 알 수 있다. 그래서 AB영역에서 N(x) = 50kN, L(x) = 2이고, BC영역에서는 -30KN, L(x) = 1, CD영역에서는 -70kN, L(x) = 1.5이다. 

부재의 단면적A(x) = $\pi (0.025)^2$는 항상 일정하고 Elastic modulus E(x) = $200(10)^9$또한 일정하다. 따라서 부재의 Displacement는 아래와 같다. 

$$\delta = \frac{50k * 2}{EA} + \frac{-30k * 1}{EA} + \frac{-70k * 1.5}{EA} = \frac{-35k}{EA}$$

 

- superposition (중첩법)

부재에 여러 힘이 작용 할 때 변형량이 원래크기의 1/10 이하라면, 각각의 힘이 독립적으로 부재에 작용한다고 가정하여 구한 변형량들을 다 더하면 전체 변화량을 구할 수 있다. 변형량$\delta = \frac{NL}{EA}$은 하중에 선형적이기 때문에 독립적으로 구해서 더해도 된다.

 

- Strain Energy (U)

부재에 변형이 일어나면 변형량만큼 위치에너지 처럼 내부에 에너지가 쌓이게 된다. 그 값은 [Nm]단위로 나타내는 일의 단위와 같다. 이때 에너지를 부피로 나누게 되면 단위부피당 저장된 에너지인 Strain Energy Density를 구할 수 있고 아래와 같이 표현된다.

$$u = \frac{\sigma \epsilon}{2} = \frac{E \epsilon ^2}{2} = \frac{\sigma ^2}{2E} = \frac{P^2}{2EA^2}$$

여기서 볼 수 있듯이 에너지는 하중과 제곱의 관계를 가지고 있기 때문에 각각의 하중에 대한 Strain Energy를 구해서 더할 수 없다.

 

- Statically Indeterminate Problem (부정적 문제)

문제를 풀다 보면 이전에 배웠던 EoE(Equation of Equilibrium)만을 이용하여 문제를 풀 수 없는 경우가 있다. 평면 문제의 경우 $\sum F_x,\sum  F_y,\sum  M$ 총 3개의 연립방정식을 사용할 수 있는데 아래 그림과 같이 방정식의 수 보다 미지수의 수가 더 많은 경우가 발생한다.

이런 경우 새로운 방정식을 더 세워서 풀어야 하는데 위에서 배운 Displacement를 생각해 볼 수 있다.

위의 그림의 경우 밑에서부터 3m지점에 -500N의 힘이 작용하는 것을 알 수 있다. 이 힘에 의해 위의 2m만큼의 부재는 인장력을 받아 늘어나고, 아래의 3m만큼의 부재는 압축력을 받아서 줄어들게 된다. 하지만 부재는 A, B 지점에 고정되어 항상 5m의 크기를 유지하게 되므로 AC부재가 늘어난길이 = BC부재가 줄어든길이 라는 식을 하나 더 만들 수 있다.

 

- Yield

앞에서 Stress-Strain Diagram을 공부 했었다. 이 때 봤듯이 Yielding이 일어나기 전에는 Stress-Strain이 E의 기울기로 선형적인 관계를 보이지만 이후에는 비선형적 관계를 보여준다. $\delta = \sum \frac{NL}{AE}$ 식은 Elastic Region에서만 활용할 수 있기 때문에 문제를 푼 후 부재 특성표에서 $\sigma_Y$값을 찾아서 식을이용해서 구한 $\sigma$와 비교하여 $\sigma_Y >= \sigma$를 확인하는 과정이 필요하다.

 

- Thermal Stress

부재는 힘에 의해 늘어나는 것 이외에도 열을 받으면 팽창한다. 이때 팽창하는 길이는 아래와 같고 $\alpha$는 선형 열팽창계수(Linear Coefficient of Thermal Expansion)로 부재마다 다른 값을 가지고 있다.

$$\delta_T = \alpha \Delta T L$$

$$\sigma_T = E \epsilon_T = E \frac{\delta_T}{L} = E \frac{\alpha \Delta T L}{L} = \alpha \Delta T E$$

 

- Stress Concentration

하중이 작용 할때 작용점에서 먼 부재에는 힘이 균일하게 작용한다. 하지만 작용점에서 가까운 부분이나 부재에 구멍같이 불연속 한 지점이 있으면 아래 그림과 같이 힘이 모든 부분에 균일하게 작용하지 않고 불연속점이나 작용점에서 가장 크게 발생한다.

이때 $\sigma_1$의 크기는 부재의 형상에 따라 다르고 그 값은 모양에 따라, 부재의 각 부분의 길이에 따라 표에서 Stress Concentration Factor ($K_t$)값을 찾아서 아래의 공식에 대입하여 찾을 수 있다.

$$K_t = \frac{\sigma_{max}}{\sigma_{avg}} = \frac{\tau_{max}}{\tau_{avg}}$$ 

 

한편 Stress Concentration은 취성재료(Brittle Material)의 피로파손이나 정적파손의 주 원인이다.

피로파손은 동하중에서 물체가 견딜수 있는 인장강도에 비해서 아주 작은 힘이라도 지속적으로 가해지면 소성변형을 하다가 결국 파손되는 것을 말하고, 정적파손은 정적하중에서 부재가 견딜 수 있는 하중보다 큰 값이 가해져서 파손되는 것을 의미한다. 이때 버틸 수 있는 하중의 크기에 대해서는 Ductile Material 은 Shear Stress에 의한 Slipping에 의해 파손되므로 Maximum Shear Stress Theory나 Maximum Distorsion Energy Theory을 이용하여 구할 수 있고, Brittle Material은 Principle Stress에 의해 파손되므로 Maximum Normal Stress Theory나 Mohr's Failure Criterion으로 구할 수 있다.