고체역학 Torsion

- Torque : 부재를 길이방향축으로 비트는 모멘트 (Moment that tends to twist a member about it't longitudinal axis)

 오른손의 네 손가락으로 Torque의 방향대로 감았을 때 엄지손가락이 향하는 방향이 부재의 작용면에서 나오는 방향일 때를 +로 잡는다.

만약 원통형 기둥 부재가 있고 부재의 반지름 길이가 c, 임의의 지점까지의 반지름 길이를  $\rho$, 부재에 작용하는 토크 T에 의한 Maximum Shear Stress가 $\tau_{max}$라고 한다면, 임의의 지점에서의 Shear Stress값은 아래와 같다.

$$\tau =  \frac{\rho}{c} \tau_{max}$$

 이때 임의의 지점에서 미소면적을 dA라고 한다면 부재에 작용하는 Total Torque (T)값은 아래와 같다.

$$T = \int \rho dF = \int \rho \tau dA = \int \frac{\tau_{max}}{c} \tau_{max} \rho^2dA$$

$$\int \rho^2 dA : 극 관성 모멘트 (Polar Moment of Inertia) = J$$

$$T = \int \frac{\tau_{max}}{c} J$$

이 식을 $\tau_{max}$에 대한 식으로 정리한 후 $\tau_{max}$를 $\tau$로 바꾸고 c를 $\rho$로 바꿔보면 부재에 토크가 가해졌을 때 부재의 임의의 위치에서의 Shear Stress를 구할 수 있는 Torsion Formula가 나온다.

$$\tau = \frac{T \rho}{J}$$

 

- Polar Moment of Inertia

 극 관성 모멘트는 극좌표를 기준으로 물체를 회전시킬 때 가해진 모멘트에 대해서 물체의 관성저항을 나타낸다. 부재의 모양에 따라서 그 값이 달라지는데 

1) 속이 꽉 찬 원통 (반지름 : R)

 $$J = \frac{\pi}{2} R^4$$

 

2) 동심 원통 (외부 반지름 : $r_o$, 내부 반지름 $r_i$)

 $$J = \frac{\pi}{2} (r_o^4 - r_i^4)$$

 

 위에서 배운 Torsion Formular를 이용해서 위의 부재에서 임의의 부분에서의 Maximum Torque값을 구할 수 있다.

위의 Bearing을 x = 0지점이라고 정하고 위치에 따라서 Torque값을 구할 수 있고, 그 값을 이용하여 Torsion Formular에 적용하면 된다.

예를 들어  3kNm과 1.25kNm사이의 부재에서의 Maximum Torque값을 구해 보면, T = 1.25kNm이고 c = 0.075이므로

$J = \frac{\pi}{2} 0.075^2$이다. 따라서 $\tau_{max} =  \frac{1.25(10)^3 0.075}{49.7(10)^{-6}}$ 이다.

 

- Power Transmission

 Shaft나 Crank의 경우 동력전달의 목적으로 사용되기도 한다. 이때 RPM과 Power의 양이 정해 져 있을 때 필요한 Torque 의 양을 알기 위한 식은 아래와 같다.

$$P = \frac{Td \theta}{dt} = Tw = T 2\pi f = \frac{FdS}{dt}  [W = Nm/sec = J/sec] $$

 

- Angle of Twist (비틀림 각)

 앞의 Axial Load에서 Normal Force에 의한 부재의 압축, 인장의 양$\delta$을 공부 했듯이, 부재에 Torque가 가해졌을 때 얼마나 비틀리는지에 대한 비틀림 각$\phi$를 구할 수 있다.

처음 그림에서 봤던 식을 그대로 가져와서 $d\phi$에 대해서 정리하면 아래와 같다.

$$d\phi = \frac{r dx}{\rho} = \frac{\tau dx}{G \rho} = \frac{T \rho  dx}{JG \rho} = \frac{Tdx}{GJ}$$

따라서 $\phi$는 

$$\phi = \int_{0}^{L} \frac{T(x)dx}{G(x)J(x)}$$

이고, 이때 만약 부재에 일정한 토크가 가해지고, 단면의 모양이 그대로이고 재질이 변하지 않는다면 (길이는 L) 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$\phi = \frac{TL}{GJ}$$

만약 토크의 크기가 변한다면, 크기가 변하는 부분별로 부재를 잘라서 각각의 부분에서의 비틀림각 $\phi$를 계산하여 더해주면 된다.

$$\phi_{total} = \sum_{i = 0}^{n} \frac{T_i L}{GJ}$$

 

만약 부재에 분포토크가 작용하고 있을 경우 토크T(x)에 대한 식과 그래프를 그려 본 뒤 $\phi = \int_{0}^{L} \frac{T(x)dx}{G(x)J(x)}$ 를 이용하여 계산한다.